用初等数论探索哥德巴赫猜想

在探索哥德巴赫猜想在初等数论框架内证明方式, 并由此发现一些显而易见的有趣结论: 若一个偶数2n能够拆分为两个奇素数的和的形式, 并且如果两个奇素数不相等, 那么这两个素数中较小的一个p(易知\( p \lt n \))必然不能整除n.

哥德巴赫猜想

关于历史研究历程一类资料, 请参考wiki.

本文将哥德巴赫猜想简单地描述为:

给定任意整数\(n(n > 1)\), 以及不超过n的所有素数¹的集合\( P = \{ p \mid Prime(p) \land p \lt n \} \). 设\(p\)为集合\( P \)中的一个元素, 猜想\(p\)对应的整数\(2n-p\)所组成的集合\(2n-P\)中, 必然存在素数元素.

引理

(一) P中存在不整除n的元素

引理1: \[ \label{1.1} \tag{1.1} \exists p \in P, p \nmid n \]

证明(反证法):

假设命题\( \ref{1.1} \) 的反命题: \[\label{1.2} \tag{1.2} \forall p \in P, p \mid n \Leftrightarrow \forall p \in P, \exists m \in Z, m \neq 0 \land mp = n \] 成立, 由伯特兰-切比雪夫定理(Bertrand's postulate)可知: \[ \exists p_0, {n \over 2} \lt p_0 \lt n \]

由假设\( \ref{1.2} \) 可得: \[{mp_0 \over 2} \lt p_0 \Rightarrow m \lt 2\].

又\(m \in Z\), \(p_0 \gt 0, n \gt 0 \Rightarrow m = {n \over p_0} \gt 0\), 所以\(m = 1\), 即\(mp_0 = p_0 = n\), 这与\(p_0 \lt n\) 矛盾!

所以命题\( \ref{1.2} \)不成立. 故命题\( \ref{1.1} \)成立.

(二) 给定正整数 \(x\) 若整除互质数对\( a, b \)之一，则 \(x\) 不整除 \(a-b\)

\[ \label{2} \tag{2} (a, b) = 1, x \gt 1, a \gt 1, b \gt 1, x|a \lor x|b \Rightarrow x \nmid a-b \]

证明:

易知\(x|a\)与\(x|b\)不同时成立, 否则\((a, b) \ge x\), 与 \((a, b) = 1\) 矛盾. 分类讨论:

• \(x|a, , x \nmid b\)

  \( \because x|a \)

  \( \therefore \exists m \ge 1, m \in Z, mx=a. \)

  假设 \( x|a-b \), 即 \( \exists k \in Z, kx=a-b \Leftrightarrow b = a-kx = (m-k)x. \)

  若 \( m = k \), 则 \( b = 0 \), 与 \( b > 1 \) 矛盾;

  若 \( m \neq k \), 则 \( \exists (m-k) \in Z, b = (m-k)x \Leftrightarrow x|b \), 与假设 \( x \nmid b \) 矛盾!

  故假设 \( x|a-b \) 不成立, \( x \nmid a-b. \)

• \(x \nmid a, , x|b\). 同理可得: 若\( x|a-b\) , 则 \( a = b + kx = (m+k)x \Leftrightarrow x|a \), 与 \(x \nmid a\) 矛盾! 故 \(x \nmid a-b \).

探索哥德巴赫猜想

分类讨论:

• 若n为素数, 显然 \( 2n-n = n \) 亦为素数, 哥德巴赫猜想成立. ¹

• 若n为合数, 则 \( n \ge 4 \). 由引理(一), 将集合P以能否整除n划分为以下子集: \( S = \lbrace s \mid s|n \rbrace, T = \lbrace t \mid t \nmid n \rbrace\)

  容易发现以下结论: \( \forall s \in S, \because s|n, s|s, \therefore s|2n-s \), 即若一个素数是n的素因子, 那么对应的整数 \( 2n-s \) 为合数. 故符合哥德巴赫猜想的数对 \( p \)与 \( 2n-p \)必然满足 \( p \nmid n \)(封面结论)

  到这里, 我们可以得到一个哥德巴赫猜想的等价命题:

  对给定合数\(n\), 及小于\(n\)且不整除\(n\)的素数集合\( T = \lbrace t \mid Prime(t) \land t \lt n \land t \nmid n \rbrace \), 在集合\(T\)对应的整数集\(2n-T = \lbrace 2n - t \mid Prime(t) \land t \lt n \land t \nmid n \rbrace \)中是否存在素数

进一步探究

推论一

\[ \label{3} \tag{3} \forall s \in S, t \in T, s \nmid 2n-t \] 而由引理(二)可得:

对于任意前述s, t, 有:

1. \( Prime(s), Prime(t) \Rightarrow s \nmid t \)
2. \( s|n \Rightarrow s|2n \)

故: \( \forall s \in S, t \in T, s \nmid 2n-t \) 也就是, 至少集合 \( 2n-T \) 的元素不会被 \( S \) 中的元素整除， 命题 \( \ref{3} \) 证毕。

推论二

对于\(T\)的子集 \( T_{\gt {n \over 2}} = T_1 = \lbrace t| t \in T, t \gt {n \over 2} \rbrace \), 具有以下性质:

\[ \label{4} \tag{4} \forall t_1, t_2 \in T_1, t_1 \nmid 2n-t_2 \]

证明如下:

假设 \( \exists t_1, t_2, t_1 \mid 2n-t_2 \), 即 \( \exists m \in Z^+, mt_1 = 2n - t_2 \).

\( \because t_1, t_2为奇数, 2n为偶数 \) \( \therefore m为奇数. \)

分类讨论:

1. 当 \( m = 1 \) 时, t_1 + t_2 = 2n.

   \( \because t_1 \neq t_2, t_1 \lt n, t_2 \lt n, \therefore t_1 + t_2 \lt 2n \), 矛盾!

2. 当 \( m \ge 3 \)时:

   \( \because t_1 \gt {n \over 2}, t_2 \gt {n \over 2}, \therefore mt_1 + t_2 \gt { mn \over 2 } + { n \over 2 } \ge { 3n \over 2 } + { n \over 2 } = 2n \) , 矛盾!

故假设不成立, 命题 \( \ref{4} \) 证毕.