若质数p不能整除偶数2n，则p不整除2n-p

命题形式化描述

\[\label{1} \tag{1} \forall p \in Primes, p \lt 2n(n \in Z^+), p \nmid 2n \Rightarrow p \nmid 2n - p \]

一般化命题与反证法 1

我们可以抽出一个更一般的命题：对任意正整数 \(a, b (a \lt b)\)，若 \( a \nmid b\)，则 \( a \nmid b - a \): \[\label{1.0} \tag{1.0} \forall a, b \in Z^+ (a \lt b), a \nmid b \Rightarrow a \mid b - a \]

反证法

假设原结论不成立，即 \( a \mid b - a \) 成立，则：

\( \because a \mid b - a, a \mid a \)

\( \therefore a \mid (b - a) + a \) （整除的线性性质），即 \( a \mid b \),

这与假设 \( a \nmid b \) 矛盾！故假设不成立，原结论成立，即 \( a\mid b - a \),

故命题 \( \ref{1.0} \) 成立。

代入条件

令 \( a := p, b = 2n \), 则显然：

\[ p \in Primes, p \lt 2n \Rightarrow p \nmid 2n \Rightarrow p \nmid 2n - p \]

即命题 \( \ref{1} \) 得证。

(以下内容为作者之前思考过的另外一个比较迂回的证明方法，为后续叙述的引理）

一整数若不同时整除互质两数，则不能整除后两数之差

形式化描述

\[ \label{1.1} \tag{1.1} \forall x \in Z^+ \land x > 1, a \in Z^+ \land a > 1, b \in Z^+ \land b > 1; \quad (a, b) = 1, x|a \lor x|b \Rightarrow x \nmid a-b \]

证明

不妨设 \( a \gt b \)。易知\(x|a\)与\(x|b\)不同时成立, 否则\((a, b) \ge x\), 与 \((a, b) = 1\) 矛盾. 分类讨论:

• \(x|a, , x \nmid b\)

  \( \because x|a \)

  \( \therefore \exists m \in Z^+, mx=a. \)

  假设 \( x|a-b \), 即 \( \exists k \in Z^+, kx=a-b \Leftrightarrow b = a-kx = (m-k)x. \)

  若 \( m = k \), 则 \( b = 0 \), 与 \( b > 1 \) 矛盾;

  若 \( m \neq k \), 则 \( \exists (m-k) \in Z, b = (m-k)x \Leftrightarrow x|b \), 与假设 \( x \nmid b \) 矛盾!

  故假设 \( x|a-b \) 不成立, \( x \nmid a-b. \)

• \(x \nmid a, , x|b\). 同理可得: 若\( x|a-b\) , 则 \( a = b + kx = (m+k)x \Leftrightarrow x|a \), 与 \(x \nmid a\) 矛盾! 故 \(x \nmid a-b \).

代入条件

令 \( x := p, a := 2n, b := p \)，显然有\( p \mid p \)。故，当 \(p \nmid 2n \)时， \( p \nmid 2n - p \)，即命题 \( \ref{1} \) 得证。