整数和它两倍（一倍半）之间的合数，可以整除整数的阶乘

形式化描述

\[ \label{2.1} \tag{2.1} \forall m \in Z^+, m \gt 8, n \in Z^+, m \lt n \lt 2m; \quad n \not \in Primes \Leftrightarrow n \mid m! \]

证明

充分性

\[ \label{2.1.1} \tag{2.1.1} n \not \in Primes \Rightarrow n \mid m! \]

因为 \( n \) 为合数，将其分为完全平方数和不完全平方数两种情况证明。

不完全平方数

不妨设 \( n = ab (a \gt b \ge 2, (a, b) = 1) \)，则 \(b \lt a \lt m \)，证明如下：

若 \( a \ge m \)，

则 \(n = ab \ge 2a \ge 2m \Leftrightarrow n \ge 2m \)，

这与 \( n \lt 2m \) 矛盾！

故假设不成立，故 \(2 \le b \lt a \lt m \Rightarrow a \mid m!, b \mid m! \)。

又 \( (a, b) = 1 \Rightarrow [a, b] = ab = n \)

因此：\( a \mid m!, b \mid m \Rightarrow [a, b] \mid m! \Leftrightarrow n \mid m! \)。

完全平方数

不妨设 \( n = k^2 \)，则 \(2 \lt k \lt 2k \lt m \)，证明如下：

若 \( 2k \ge m \)，则 \( k \ge { m \over 2 } \)，

则 \(n = k^2 \ge { m^2 \over 4 } \ge { 8 / 4 } \cdot m = 2m \Leftrightarrow n \ge 2m \)，

这与 \( n \lt 2m \) 矛盾！

故假设不成立，故 \( 2 \le k \lt 2k \lt m \Rightarrow 2k^2 \mid m! \)。

因此：\( 2k^2 \mid m! \Leftrightarrow 2n | m! \Rightarrow n \mid m! \)。

综上，命题 \( \ref{2.1.1} \) 得证。

必要性

\[ \label{2.1.2} \tag{2.1.2} n \mid m! \Rightarrow n \not \in Primes \]

反证：假设 \(n \in Primes \)，则：

\( \because n > m, n \in Primes, \)

\( \therefore n \nmid 2, \space n \nmid 3, \space n \nmid 4, \space \dots, \space n \mid m \Rightarrow n \nmid m!， \)

这与条件 \( n \mid m! \) 矛盾！故假设不成立，命题 \( \ref{2.1.2} \) 得证。

综上，命题 \( \ref{2.1} \) 得证。

更强的结论

显然对 \( \forall n \in (m, 3/2m) \Rightarrow n \in (m, 2n) \)，故： \[ \label{2.2} \tag{2.2} \forall m \in Z^+, m \gt 8, n \in Z^+, m \lt n \lt { 3m \over 2 }; \quad n \not \in Primes \Leftrightarrow n \mid m! \]